Question

如图，在空间直角坐标系中，已知正四棱锥的高，点和分别在轴和轴上，且，点是棱的中点.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）求出和平面PAB的法向量，利用向量法能求出直线AM与平面PAB所成角的正弦值．（2）求平面PBC的法向量和平面PAB的法向量，利用向量法求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

（1）P（0，0，2），A（0，－1，0），B（1，0，0），M（0，，1），

＝（0，1，2），＝（1，1，0），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），

则，取x＝2，y＝－2，z＝1，＝（2，－2，1），

＝（0，，1），

，得cosθ＝＝,

即线与平面所成角的正弦值为.

（2）C（0，1，0），P（0，0，2），B（1，0，0）

＝（－1，0，2），＝（－1，1，0），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），

则，取x＝2，y＝2，z＝1，＝（2，2，1），

，得cosα＝，

二面角的余弦值为.