Question

如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点.

求证：（1）底面；

（2）平面；

（3）平面平面.

Answer

(1)证明见解析.

(2) 证明见解析.

(3) 证明见解析.

【解析】

试题（Ⅰ）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD．

（Ⅲ）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD ①．现证CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD，

从而证得 CD⊥EF ②．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理

证得平面BEF⊥平面PCD．

【解析】
（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．

又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．

（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．

由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．

再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，

∴CD⊥EF ②．

而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．

由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．