Question

如图，在三棱柱中，，，为的中点，点在平面内的射影在线段上.

 

(1)求证：；

(2)若是正三角形，求三棱柱的体积.

Answer

（1）见证明；(2)

【解析】

（1）分别证明和，结合直线与平面垂直判定，即可。（2）法一：计算，结合和，即可。法二 :计算，结合，计算体积，即可。法三：结合，计算结果，即可。

(1)证明：设点在平面内的射影为，

则，，且，因，所以.

在中，，，

则，在中，，，

则，

故，故.

因，故.

(2)法一、，

由(1)得，故是三棱锥的高，

是正三角形，，，

，

，

故三棱柱的体积，故三棱柱的体积为.

法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因且高一样，

故，

故，

由(1)得，故是四棱柱的高，

故，

故，故三棱柱的体积为.

法三、在三棱锥中，由(1)得，是三棱锥的高，6分

记到平面的距离为，

由得，即，

为的中点，故到平面的距离为，

.

故三棱柱的体积为.