Question

已知动圆与直线相切且与圆外切。

（1）求圆心的轨迹的方程；

（2）设第一象限内的点在轨迹上，若轴上两点，，满足且. 延长、分别交轨迹于、两点，若直线的斜率，求点的坐标.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）结合题意，可知圆心P的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，建立方程，即可。（2）设出直线SA的方程，代入抛物线方程，用k,m表示M,N的纵坐标，结合，计算m，计算S坐标，即可。

(1)设动圆的半径为

则圆心P到直线的距离，且，

故圆心到直线的距离为，

由抛物线的定义知，圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，

故轨迹的方程为.

（另法：设动圆的半径为，圆心为，

则，，化简得）

（2）

设，由，得，

的斜率和的斜率均存在，且互为相反数

设的斜率为，则直线，

联立得，

故，，

即（*），

由于的斜率为，将（*）中的换成，

得到点的纵坐标，

故直线的斜率，

故，此时，时，，

所以点的坐标为