Question

已知是函数的切线，则的最小值为______．

Answer

【解析】

根据题意，设切线的坐标为（m，lnm+m），求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分析可得k1，b＝lnm﹣1，代入化简得到lnm1，设g（m）＝lnm1，求出g′（m），利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案．

根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），

函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）1，则f′（m）1，

则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），变形可得y＝（1）x+lnm﹣1，

又由切线的方程为y＝kx+b，

则k1，b＝lnm﹣1，

则2k+b2+lnm﹣1＝lnm1，

设g（m）＝lnm1，其导数g′（m），

在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm1为减函数，

在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm1为增函数，

则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；

故答案为：ln2+2．