Question

光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为，与光源距离的平方成反比，比例系数为均为正常数如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上不含A，若物体P到光源A的距离为x．

试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；

当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？

Answer

（1），；（2）在连接两光源的线段上，距光源为处.

【解析】

（1）求出P点受A光源的照度，P点受B光源的照度，求和即可；

（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

（1）因为物体到光源的距离为，所以物体到光源的距离为.

因为在线段上且不与，重合，所以.

因为光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比.

所以点受光源的照度为：，

点受光源的照度为：，

所以物体受到，两光源的总照度，.

（2）因为，.

所以.

令，解得.

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增.

因此，当时，取得极小值，且是最小值.

所以在连接两光源的线段上，距光源为处，物体受到光源，的总照度最小.