Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为．

求椭圆C的标准方程；

已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A在第三象限内为椭圆C的上顶点，记直线MA，MB的斜率分别为，．

若直线l经过原点，且，求点A的坐标；

若直线l过点，试探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）；（2）①；②为定值1.

【解析】

（1）由已知列关于a，c的方程组，求解可得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆C的标准方程可求；

（2）①设A（x1，y1），M（0，1），由椭圆对称性可知B（﹣x1，﹣y1），由点A（x1，y1）在椭圆上，得到，求出k1•k2，结合k1﹣k2，可得k1＝1，则直线MA的方程可求，再与椭圆方程联立即可求得A的坐标；

②直线l过点（﹣2，﹣1），设其方程为y+1＝k（x+2），与椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可得到k1+k2是定值．

（1）因为椭圆的离心率为，右准线方程为，

所以，

解得.

又因为.

所以椭圆的标准方程为.

（2）设，，为椭圆的上顶点，则.

①因为直线经过原点，由椭圆对称性可知.

因为点在椭圆上，所以，即.

因为，.

所以.

所以，解得或.

因为点在第三象限内，所以，所以，则直线的方程为.

联结方程组，解得或，所以.

（解出，，也可根据，，求出点的坐标）

②直线过点，设其方程为.

联列方程组，消去可得（4k2+1）x2+8k（2k﹣1）x+16k（k﹣1）＝0．

当时，由韦达定理可知，.

又因为

.

所以为定值1.