Question

已知函数，其中a，．

当时，若在处取得极小值，求a的值；

当时．

若函数在区间上单调递增，求b的取值范围；

若存在实数，使得，求b的取值范围．

Answer

（1）-2；（2）①；②.

【解析】

(1）代入b的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点，从而求出a的值即可；

（2）代入a的值，①求出函数的导数，通过讨论b的范围求出函数的单调区间，从而确定b的范围即可；

②通过讨论b的范围，求出函数的导数，结合函数的单调性确定b的范围即可．

（1）当时，因为，所以.

因为在处取得极小值，所以，解得：.

此时，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

所以在处取得极小值.

所以符合题意.

（2）当时，因为，

所以.

令.

①因为在上单调递增，所以在上恒成立，

即在上恒成立.

当时，则，满足题意.

当时，因为的对称轴为，

所以，解得或.

综上，实数的取值范围为.

②当时，，与题意不符.

当时，取，则.

令，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，即.

所以，

所以符合题意.

当时，

因为在递增且

所以在上恒成立，所以在上单调递增，

所以恒成立，与题意不符.

当时，

因为，，

由零点存在性原理可知，存在，使得，

所以当时，，单调递减，

取，则，符合题意.

综上可知，实数的取值范围为.