Question

已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（  ）

A. 6    B. 3    C.     D.

Answer

A

【解析】

通过图象可知F1F2=F2P=2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论．

由题意可知：F1F2=F2P=2c，

又∵F1P+F2P=2a1，F1P﹣F2P=2a2，

∴F1P+2c=2a1，F1P﹣2c=2a2，

两式相减，可得：a1﹣a2=2c，

∵==，

∴===4+2+，

∵2+≥2=2，当且仅当时等号成立，

∴的最小值为6，

故选：A．