Question

如图，已知平面，为矩形，，，分别为，的中点，求证：

（1）平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

（1）利用三角形的中位线定理得，结合平行四边形的判定和性质得到，再用线面平行的判定定理即可得出结论；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面PMC的法向量，进而利用向量的夹角公式可求直线PD与平面PMC成角的正弦值．

（1）取中点，连接，，则，，又因为，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；

（2）建立空间直角坐标系如图，因为，所以，，，，，，.设平面法向量为，则，，解得，，令，则.设与平面所成角为，则.