Question

如图，三棱柱中，，，.

（1）证明：；

（2）若平面平面，，求二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

（1）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；

（2）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，求出平面平面BB1C1C的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

（1）取中点，连接，，因为，所以；

因为，，故为等边三角形，所以；

因为，所以平面；所以.

（2）由（1）可知，，，又因为平面平面，交线为，所以平面，故，，两两垂直.以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，

因为，所以，所以，，，.

设是平面的法向量，则，，解得，同理可得，平面的法向量，

，，

所以二面角余弦值为.