Question

已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程.

（2）直线与曲线交于点，，点为线段的中点，若，求面积的最大值.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）推导出|PE|+|PF|＝4＞|EF|＝2，从而圆心P的轨迹C为以E与F为焦点的椭圆，由此能求出曲线C的方程．

（2）设直线l：x＝my+n，由方程组，得（4+m2）y2+2mny+n2﹣4＝0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出直线l的方程．

（1）设动圆的半径为，由已知得，，则有，

∴的轨迹是以，为焦点的椭圆，设曲线的方程为，易知，，则，

∴曲线的方程为.

（2）设直线，，，

由得①

，，，

由中点坐标公式可知.

，

②，

设直线与轴的交点为，则点的坐标为，

则面积的平方，

设，

则，当，即时，的面积取得最大值.