Question

已知椭圆C：的一个顶点为，且经过点

求椭圆C的方程；

过点A作斜率为的直线l交C于另一点D，交y轴点E，P为线段AD的中点，O为坐标原点，是否存在点Q满足对于任意的都有？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)(2)见解析

【解析】

由由题意可得，解得，，由此能求出椭圆方程；

直线的方程为，与椭圆联立，得，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q的坐标．

由题意可得，解得，，

则椭圆C的方程为，

直线的方程为，得，

联立椭圆方程，消元化简得，

，

，

，

，

又点P为AD的中点，，

则，

假设存在定点使得，则，

即恒成立，

恒成立，

，即，，

因此定点Q的坐标为