Question

已知椭圆C：的一个顶点为，且过抛物线的焦点F．

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设点Q是椭圆C上一动点，试问直线上是否存在点P，使得四边形PFQB是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）求出椭圆C的方程为y2＝1，然后求解椭圆的离心率即可．

（2）设P（t，4﹣t），Q（x0，y0），推出，解得x0＝2﹣t，y0＝t﹣3，代入y2＝1，转化求解t，判断是否存在点P．

(1)椭圆C：的一个顶点为，可得，

抛物线的焦点

，

椭圆方程为，

，

，

(2)由已知，设，

若PFQB是平行四边形，则，

，

整理得，．

将上式代入，

得，

整理得，

解得，或．

此时，或经检验，符合四边形PFQB是平行四边形，

所以存在或满足题意．