Question

已知函数为常数的图象与y轴交于点A，曲线在点A处的切线斜率为．

（1）求a的值及函数的单调区间；

（2）设，证明：当时，恒成立．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）利用导数的几何意义是曲线在切点处切线的斜率可得a＝3，然后根据导函数的符号可得单调区间；

（2）将所证不等式转化为ex﹣x2﹣1＞0，然后构造函数h（x）＝ex﹣x2﹣1（x＞0），通过两次求导可证不等式．

(1)令得，则

，，解得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

的单调递增区间为，单调递减区间为

(2)证明：当时，，

令，

则，

，

当时，，递减；

当时，，递增，

在上单调递增，

，

，

当时，．