Question

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,平面PAC⊥底面ABCD，PA=PC=

（1）求证：PB=PD;

（2）若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点Q,则在线段BC上是否存在一点H,使得DQ⊥PH,若存在,求BH的长,若不存在,请说明理由.

Answer

(1)见证明；(2)见解析

【解析】

(1) 记AC∩BD=O，连结PO，易证PO⊥AC，结合平面PAC⊥底面ABCD，可得到PO⊥底面ABCD，从而得到PO⊥BD，则有PB=PD；(2) 以O为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量n，设，可得到点的坐标，即可表示出，由=0，可求出及，设，可表示出点及，由，可求出，从而可求出。

(1)证明：记AC∩BD=O，连结PO，

底面ABCD为正方形，OA=OC=OB=OD=2.

PA=PC，PO⊥AC，

平面PAC∩底面ABCD=AC，PO平面PAC，

PO⊥底面ABCD.

BD底面ABCD，PO⊥BD.

PB=PD.

(2)以O为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知OP=2.

可得P(0,0,2)，A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),

可得，M(0,-1,1), N(0,1, 1).，.

设平面的法向量n=，

，，

令，可得n=.

记，可得，

，=0，可得，，解得.

可得，.

记，可得，

，若DQ⊥PH，则，

，解得.故.