Question

已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，讨论函数的单调性；

（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）有极小值是，无极大值.（2）见解析；（3）

【解析】

(1)利用导数先求函数的单调性，再求函数的极值.(2)对a分类讨论，利用导数求函数的单调性.(3)先转化命题，对任意，恒有成立，再分离参数得，因为，所以只需 ，求出t的范围.

当时，函数的定义域为，

且得

函数在区间上是减函数，在区间上是增函数

函数有极小值是，无极大值.

得，

当时，有，函数在定义域内单调递减；

当时，在区间，上，单调递减；

在区间上，单调递增；

当时，在区间上，单调递减；

在区间上，单调递增；

由知当时，在区间上单调递减，

所以

问题等价于：

对任意，恒有成立，

即，因为，所以，因为，

所以只需

从而

故的取值范围是