Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，点E是PD的中点．

求证：；

求证：平面AEC．

Answer

见解析

【解析】

试题（Ⅰ）由已知得AC⊥AB，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAB，由此能证明AC⊥PB．

（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO，由已知得EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．

（Ⅰ）证明：∵在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，

AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，

∴AC⊥AB，AC⊥PA，

又AB∩PA=A，∴AC⊥平面PAB，

∵PB⊂平面PAB，∴AC⊥PB．

（Ⅱ）证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO，

∵ABCD是平行四边形，

∴O是BD的中点，又E是PD的中点，

∴EO∥PB，

又PB不包含于平面AEC，EO⊂平面AEC，

∴PB∥平面AEC．