Question

如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且．

求二面角的正切值；

求三棱锥的体积．

Answer

（1）2（2）

【解析】

取BC中点O，中点E，连结OE，OA，以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正切值．

三棱锥的体积，由此能求出结果．

取BC中点O，中点E，连结OE，OA，

由正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且．

以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，

则3，，0，，0，，0，，

所以0，，3，，

其中平面ABD的法向量1，，

设平面的法向量y，，则，

取，得1，，

设二面角的平面角为，则，则，

则，所以二面角的正切值为2．

由（1）可得平面，所以是三棱锥的高，且,

所以三棱锥的体积：

．