Question

已知圆C过点，且与圆M：关于直线对称．

求圆C的方程；

过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

Answer

（1）（2）直线AB和OP一定平行．证明见解析

【解析】

由已知中圆C过点，且圆M：关于直线对称，可以求出圆心坐标，即可求出圆C的方程；

由已知可得直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，设PA：，PB：，求出A，B坐标后，代入斜率公式，判断直线OP和AB斜率是否相等，即可得到答案．

由题意可得点C和点关于直线对称，

且圆C和圆M的半径相等，都等于r．

设，由且，解得：，．

故原C的方程为．

再把点代入圆C的方程，求得．

故圆的方程为：；

证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，

且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，

则得直线OP和AB平行，

理由如下：由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，

故可设PA：，PB：．

由，得，

因为的横坐标一定是该方程的解，，

同理可得．

由于AB的斜率的斜率，

所以直线AB和OP一定平行．