Question

已知函数其中且

（i）当时，若，则实数的取值范围是___________；

(ii) 若存在实数使得方程有两个实根，则实数的取值范围是_______.

Answer

【解析】

（1）由分段函数，讨论①当x＞1时，②当x≤1时，解不等式即可（2）讨论①当0＜a＜1时，②当a≥1时，作图象观察即可

（i）当a＝2时，或，解得x＜2，

故f（x）＜4，则实数x的取值范围是（﹣∞，2）；

（ii）当0＜a＜1时，函数f（x）的大致图象为：

当x＞1时，函数f（x）＝ax为减函数，则0＜f（x）＜f（1）＝a，

当x≤1时，函数f（x）＝x+为增函数，则f（x）＜f（1）＝1+，

此时存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，

当a＞1时，当x＞1时，函数f（x）＝ax为增函数，则f（x）＞f（1）＝a，

当x≤1时，函数f（x）＝x+为增函数，则f（x）＜f（1）＝1+，

如图所示：

若存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，

则需要满足1+＞a，解得1＜a＜2，

综上所述a的取值范围为（0，1）∪（1，2）

故答案为：（﹣∞，2），（0，1）∪（1，2）