Question

如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面⊥平面， .

(Ⅰ) 求证：；

(Ⅱ) 求证：平面⊥平面；

(Ⅲ) 在线段上是否存在点，使得⊥平面？ 说明理由.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）存在点N符合题意

【解析】

（Ⅰ） 推导出AB∥CD．由此能证明CD∥平面ABFE．（Ⅱ） 推导出AE⊥DE，AB⊥AD，从而AB⊥平面ADE，进而 AB⊥DE，由此能证明DE⊥平面ABFE，从而平面ABFE⊥平面CDEF．（Ⅲ）取CD的中点N，连接FN，推导出四边形EDNF是平行四边形，从而FN∥DE，由DE⊥平面ABFE，能证明FN⊥平面ABFE．

证明：(Ⅰ)在五面体中，因为四边形是正方形，

所以.

因为平面,平面，

所以平面.

(Ⅱ)因为,，

所以，所以，即.

因为四边形是正方形，所以.

因为平面⊥平面，平面 平面，

所以⊥平面.

因为,所以⊥.

因为所以⊥平面

因为，所以平面⊥平面.

(Ⅲ)在线段上存在点，使得⊥平面.

证明如下：

取的中点，连接.

由（Ⅰ）知,,

,

所以.

因为

所以.

所以四边形是平行四边形.

所以.

由(Ⅱ)知，⊥平面，

所以.