Question

已知函数．

(Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)若，判断函数的零点个数，并说明理由.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

（Ⅰ）把分别代入原函数及导函数解析式，求得f′（1）及f（1），利用直线方程的点斜式求解；（Ⅱ）求出导函数的零点，列关于x，f′（x），f（x）变化情况表，求得函数最小值f（a）．然后分f（a）＞0，f（a）＝0，f（a）＜0三类分析原函数的零点．

【解析】
函数的定义域为.

f’(x)=,.

（I）若，f’(1)=3，且,

所以曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y-2=3(x-1)，即3x-y-1=0.

（Ⅱ）令f’(x)=0，得x=a，（舍）.

x,f(x), f’(x)变化情况如下表：

x

(0,a)

a

f’(x)

0

↘

极小值

↗

)=a-2alna.

①当，即时，无零点.

②当，即时，只有一个零点.

③当，即时，

因为>0，,且在上单调递减，

所以在上存在唯一零点；

在上，，.

因为，所以，即.

又，且在上单调递增，

所以在上存在唯一零点；

所以当时，有两个零点.

综上：时，无零点；

时，只有一个零点；

时，有两个零点.