Question

已知椭圆过点 ，且离心率为.设为椭圆的左、右顶点，P为椭圆上异于的一点，直线分别与直线相交于两点，且直线与椭圆交于另一点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求证：直线与的斜率之积为定值；

（Ⅲ）判断三点是否共线，并证明你的结论.

Answer

（Ⅰ） （Ⅱ）（Ⅲ）三点共线

【解析】

（Ⅰ）根据已知条件列a、b、c的方程组，求a、b、c的值，可得椭圆标准方程（Ⅱ）设点P坐标为（x0，y0），将点P的坐标代入椭圆方程可得x0与y0的等量关系，然后利用斜率公式，结合等量关系可证出结论；（Ⅲ）设直线AP的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），得直线BP方程，与直线x＝2联立，分别求点M、N坐标，然后求直线MN斜率，写直线HM的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理可求点H坐标，计算AH和AN的斜率，利用这两直线斜率相等来证明结论成立．

【解析】
（Ⅰ）根据题意可知解得

所以椭圆的方程.

（Ⅱ）根据题意，直线的斜率都存在且不为零.

设，则 .

则.

因为，所以.

所以.

所以直线与的斜率之积为定值.

(III)三点共线.证明如下：

设直线的方程为，则直线的方程为.

所以，,.

设直线，

联立方程组消去整理得，.

设，则所以,.

所以.

因为，,

,.

所以，所以三点共线.