Question

已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若不经过点的直线：与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由题可知，求得直线的方程，再由点到直线的距离公式，联立求得的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）由直线与圆相切，求得，再把直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系和弦长公式，分别求得，即计算求得三角形的周长。

（1）由题可知，，，则，

直线的方程为，即，所以，

解得，，

又，所以椭圆的标准方程为.

（2）因为直线与圆相切，

所以，即.

设，，

联立，得，

所以 ，

，，

所以 .

又，所以.

因为 ，

同理.

所以，

所以的周长是，

则的周长为定值.