Question

已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，讨论函数的零点个数.

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由题意，求得函数的导数，求得的值，即可求解曲线在点处的切线方程；

（2）求得函数的导数 ，可得时，函数无零点；当时，利用导数求得函数的单调性和极值，借助图象即可判定函数的零点个数，得到答案。

（1）因为，所以，

又，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2） ，

当时，，无零点；

当时，由，得.

当时，；

当时，，所以.

，当时，；当时，，.

所以当，即时，函数有两个零点；

所以当，即时，函数有一个零点；

当，即时，函数没有零点.

综上，当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点；当时，函数没有零点.