Question

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的方程为，曲线：（为参数，），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线有公共点，且直线与曲线的交点恰好在曲线与轴围成的区域（不含边界）内，求的取值范围.

Answer

（1），；（2）

【解析】

（1）消去参数，即可得到曲线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可化简得到曲线的直角坐标方程.

（2）根据直线与曲线有公共点，解得，再联立方程组，求得点的坐标，根据点在曲线内，列出不等式组，即可求解。

（1）曲线的普通方程为，

曲线的直角坐标方程为.

（2）直线与曲线有公共点，则圆心到直线的距离为，

故，解得.

由，得，即，

又点在曲线内，所以，解得.

综上，的取值范围为.