Question

如图，五面体中，四面体是菱形，是边长为2 的正三角形，，.

（1）证明：；

（2）若在平面内的正投影为，求点到平面的距离.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

试题（1）要证，可由平面证得，只需证明和即可；

（2）分析条件可得点在平面内的射影必在上，是的中点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量即可.

试题解析：

【解析】
（1）如图，取的中点，连

因为是边长为的正三角形，所以

又四边形是菱形，，所以是正三角形

所以

而，所以平面

所以

（2）由（1）知，平面⊥平面

因为平面与平面的交线为，

所以点在平面内的射影必在上，

所以是的中点

如图所示建立空间直角坐标系，

，

所以，，

设平面的法向量为，则

，取，则，，

即平面的一个法向量为

所以与平面所成的角的正弦值为