Question

已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切.

（1）求动圆的圆心轨迹的方程；

（2）过点的直线与曲线相交于两点，分别过点作曲线的切线，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.

【解析】

试题（Ⅰ）设，由 化简即可得结论；（Ⅱ）由题意的外接圆直径是线段，设：，与 联立得，从而得，时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.

试题解析：（Ⅰ）设点到直线的距离为，依题意.

设，则有 .

化简得.

所以点的轨迹的方程为.

（Ⅱ）设：，

代入中，得.

设，，

则，.

所以 .

因为：，即，所以.

所以直线的斜率为，直线的斜率为.

因为，

所以，即为直角三角形.

所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径.

因为，

所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.

【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题（Ⅰ）就是利用方法①求圆心轨迹方程的.