Question

已知定义域为的函数（常数）.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若恒成立，求实数的最大整数值.

Answer

（1）在上为减函数，在上为增函数.（2）见解析.

【解析】

试题

（1）当时，（），∴，据此可得在上为减函数，在上为增函数.

（2）原问题等价于对于恒成立，，分类讨论：①当时，由函数的单调性可得；②当时，，则，构造函数，结合导函数的解析式可得在上存在唯一使得，且，即最大整数值为2.

试题解析：

（1）当时，（），∴，

令，有，∴在上为增函数，

令，有，∴在上为减函数，

综上，在上为减函数，在上为增函数.

（2）∵对于恒成立，

即对于恒成立，

由函数的解析式可得：，分类讨论：

①当时，在上为增函数，∴ ，

∴恒成立，∴；

②当时，在上为减函数，在上为增函数.

∴，∴，

∴，

设，

∴，

∴在上递增，而，

，

∴在上存在唯一使得，且，

∵，∴最大整数值为2，使，即最大整数值为2，

综上可得：实数的最大整数值为2，此时有对于恒成立.