Question

已知.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的定义域和导数，对分和两种情况，分析在上的符号，可得出函数的单调区间；

（2）由，转化为，构造函数，且有，问题转化为，对函数求导，分析函数的单调性，结合不等式求出实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，.

①当时，对任意的，，此时，函数的单调递减区间为；

②当时，令，得；令，得.

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2），即，得，

又，不等式两边同时除以，得，即.

易知，由题意可知对任意的恒成立，.

①若，则当时，，，此时，

此时，函数在上单调递减，则，不合乎题意；

②若，对于方程.

（i）当时，即，恒成立，

此时，函数在上单调递增，则有，合乎题意；

（ii）当时，即时，

设方程的两个不等实根分别为、，且，

则，，所以，，，.

当时，；当时，，，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.