Question

如图，在三棱柱中，底面ABC为正三角形，底面ABC，，点在线段上，平面平面．

（1）请指出点的位置，并给出证明；

（2）若，求与平面ABE夹角的正弦值．

Answer

（1）见解析；

（2）.

【解析】

（1）取中点为，的中点为，连接，，．四边形为平行四边形,即可说明平面，即平面，即平面平面.

（2）利用等体积法，即可求出点到平面ABE的距离的，再代入公式，即可求出答案．

（1）点为线段的中点．

证明如下：取中点为，的中点为，连接，，．

所以，，所以四边形为平行四边形．所以．

因为，，所以．

又因为平面，平面，所以．

又，所以平面．

所以平面，而平面，所以平面平面.

（2）由，得．

由（1）可知，点到平面的距离为．

而的面积

，

等腰底边AB上的高为

记点到平面ABE的距离为，

由，得，

即点到平面ABE的距离为.又

与平而ABE夹角的正弦值.