Question

已知,函数=.

(1)求的最大值:

(2)若关于的方程有实数解,求实数的取值范围.

Answer

（1）①时,==②当时,==.；（2）的取值范围为..

【解析】

试题(1)===在上单调递增,

所以,根据二次函数求最值的方法解答;

(2)关于x的方程有解.即关于的方程=在上有解.可知2的取值范围即为函数=在上的值域,根据单调性求出值域.

试题解析：

(1)=,

=

令=在上单调递增,

所以,于是,

===

①时,==

②当时,==.

(2)关于x的方程有解.

即关于的方程在上有解,

显然,不是上述方程的解.于是转化为关于t的方程,

=在上有解,

,

可知2的取值范围即为函数在上的值域.

注意到可证明在上递减,在上递增,且为奇函数.

从而可得到当时,

所以,

故的取值范围为.