Question

已知函数为奇函数，且．

（1）求实数的值；

（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；

（3）求不等式的解集．

Answer

（1）；（2）在上单调递减,证明见解析；(3) .

【解析】

（1）由奇函数可求得，再由求得，最后检验一下是奇函数；

（2）由单调性定义证明；

（3）由奇函数性质不等式变为，再由单调性去掉符号，然后可解得结论。

（1）由题意，为R上奇函数，则，得，再由，得.经检验，当时是奇函数.

(2) 由（1）得，在上单调递减,

证明如下：

任取且，则

即

在上单调递减.

（3）为奇函数，，则原不等式化为

，而由（2）得在时单调递减，且

，即

∴原不等式的解集为.