Question

设a为非负实数，函数.

（1）当时，画出函数的草图，并写出函数的单调递增区间；

（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）草图见解析，的增区间为；（2）.

【解析】

（1）可按和分类去掉绝对值符号后作图，由图象得出单调区间；

（2）按和分类去掉绝对值符号后依照（1），得函数单调性，先讨论特殊情形满足题意，在时，因此函数在上有唯一零点，这样在上应无零点，此时最大值应小于0。

（1）函数的草图.

由图可知函数的增区间为.

（2）因为，而则,

若时有唯一零点。符合题意.

若时在上单调递增，，

在上有唯一零点.而在上单调递增，在上单调递减.

由题意，要使在R上有唯一零点，则在上没有零点，

故在上的最大值

综合上述，a的取值范围是.