Question

已知函数，其中为实常数．

（Ⅰ）判断的奇偶性；

（Ⅱ）若对任意，使不等式恒成立，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数；（Ⅱ）

【解析】

试题（Ⅰ）易求得函数的定义域为，是关于原点对称的.当时，易得所以为偶函数；当时，因为，所以不是奇函数；因为所以，故不是偶函数．故当时，为非奇非偶函数.

（Ⅱ）对任意，使不等式恒成立等价于“对任意，使不等式恒成立”，设，即，分类讨论去绝对值，再求函数的最大值即可.

试题解析：（Ⅰ）易求得函数的定义域为，是关于原点对称的.

当时，

所以为偶函数；

当时，因为，所以不是奇函数；

因为所以，

故不是偶函数. 综合得为非奇非偶函数.

综上所述，当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数.

（Ⅱ）（1）当时，不等式化为即，

若，即，则矛盾．

若，即，则即解得或所以

（2）当时，不等式化为即，

若即，结合条件，得

若即，即解得或结合条件及（1），得

若，恒成立. 综合得

（3）当时，不等式化为即，得即．结合（2）得

所以，使不等式对恒成立的的取值范围是