Question

已知函数.

（1）求函数的值域；

（2）设，，，求函数的最小值；

（3）对（2）中的，若不等式对于任意的时恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1) ； (2) ；(3).

【解析】

试题（1）利用函数单调性得证明方法证明函数在上是增函数，利用单调性求其值域；（2）通过换元法，问题转化为二次函数求最小值，利用对称轴分类讨论即可；（3）分离参数，求函数的最值，求最值时利用函数单调性.

试题解析：(1) 在任取且，则，，

所以，，即，

所以是上增函数，故当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以函数的值域为.

(2) ，，

令，，则.

①当时，在上单调递增，故；

②当时，在上单调递减，故；

③当时，在上单调递减，在上单调递增，故；

综上所述，

(3)由(2)知，当时，，所以，

即，整理得，.

因为，所以对于任意的时恒成立.

令，，问题转化为.

在任取且，则，，

所以，，

①当时，，所以，即，

所以函数在上单调递增；

②当时，，所以，即，

所以函数在上单调递减；

综上，，从而.

所以，实数的取值范围是.