Question

已知（且）在区间上的最大值与最小值之和为，，其中.

（1）直接写出的解析式和单调性；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，若，使得对，都有，求实数的取值范围.

Answer

（1），减函数；（2）；（3）.

【解析】

（1）分和两种情况讨论函数在区间上单调性，得出，可解出实数的值，并判断出函数的单调性；

（2）由，可得出对任意的实数恒成立，由参变量分离法得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；

（3）由题意可得，求出函数在区间上的最大值，然后分与的大小关系，求出函数在区间上最大值，然后解出不等式即可得出实数的取值范围.

（1）当时，函数在区间上为增函数；

当时，函数在区间上为减函数.

由题意可得，即，

且，解得，，则函数为减函数；

（2）由（1）可得，由，即，即，即对任意的恒成立，即.

，，，因此，实数的取值范围是；

（3）函数在区间上单调递减，则.

由题意可得，.

二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.

当时，且当时，，则，解得，此时；

当时，且当时，，则，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.