Question

设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，为的下标.如果数组中的每个“元”都来自数组中不同下标的“元”则称为的子数组.定义两个数组，的关系数为.

（1）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值及此时的数组；

（2）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）根据题中“元”的含义，可知当时，取得最大值为；

（2）对是否为中的“元”进行分类讨论：①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，以及中、、三个“元”的对称性，利用基本不等式计算的最大值；②当不是中的“元”时，只需计算的最大值即可，最后综上即可得出的最大值.

（1）由题意，当时，取得最大值；

（2）①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，以及中、、三个“元”的对称性，

只需计算的最大值，其中，

由，得.

当且仅当，时，达到最大值.

于是；

②当不是中的“元”时，计算，

由于，所以，

当且仅当时，等号成立，则取得最大值.

此时.

综上所述，的最大值为.