Question

如果函数满足且是它的零点，则函数是“有趣的”，例如就是“有趣的”，已知是“有趣的”.

（1）求出b、c并求出函数的单调区间；

（2）若对于任意正数x，都有恒成立，求参数k的取值范围.

Answer

（1），，单减区间为0，1），单增区间为；（2）

【解析】

（1）根据定义得方程恒成立，解得b、c，再根据复合函数单调性确定函数的单调区间；

（2）先化简不等式，再求导数，根据导函数符号分类讨论,利用导数证明恒成立,再说明不恒成立.

（1）因为是“有趣的”，所以

即

的定义域为，单减区间为（0，1），单增区间为.

（2）参数的取值范围为.

引理：不等式对任意正数y都成立。证明如下：

由恒成立，得恒成立。.

我们构造函数。注意到。

构造，注意到，且

我们以下分两部分进行说明：

第一部分：时，恒成立。

时，由引理得：，知道，

从而当时有，时有，所以在（0，1）上为负，在上为正。

从而在上单减，在上单增，最小值为。

从而

第二部分：时，不满足条件。

构造函数。

（ⅰ）若，则对于任意，都有。

（ⅱ）若，则对于任意，，

而，所以在（0，1）上有唯一零点，同时在，时都有。

于是只要，无论是（ⅰ）还是（ⅱ），我们总能找到一个实数，在时都有。

这样在时，都有，结合，所以时，从而在时有。，所以时，不满足要求。