Question

在如图所示的几何体中，是边长为2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC，，且.

（1）若，求证：平面BDE；

（2）若二面角为，求直线CD与平面BDE所成角.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求出平面BDE法向量，根据向量垂直坐标表示以及线面平行判定定理证明线面平行，

（2）在（1）基础上利用向量数量积求出平面BDE以及平面法向量，根据向量数量积求出两法向量夹角，再根据二面角求出，最后利用空间向量求线面角.

（1）取的中点，连接，，

因为，，，为的中点，所以，。

又因为平面平面，所以平面，因为是边长为2的正三角形，所以，；

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，因为，所以，。

设平面的法向量，则

令，所以。

因为，所以，

又平面，所以平面。

（2）设，则，。

设平面的法向量，

则

令，所以。

又平面的法向量，

所以，解得，即知平面的法向量。设直线与平面所成的角为，而，所以，所以，即直线与平面所成的角为.