Question

已知，且，向量，，，， ．

（1）求函数的解析式，并求当时，的单调递增区间；

（2）当，时，的最大值为5，求的值；

（3）当时，若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）f（x）＝2asin（2x），单调递增区间为[kπ，kπ]（k∈Z）；（2）a＝﹣5或a．（3）（0，1）．

【解析】

（1）化简f（x）＝2asin（2x），再利用三角函数性质求单调区间；

（2）讨论a的正负，确定最大值，求得a；

（3）化简不等式，转化恒成立问题为函数的最值问题，即可求解．

（1）f（x）•2acos2xasin2x﹣a

＝2asin（2x），

∵a＞0，

∴2kπ2x2kπ（k∈Z）

∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]（k∈Z）

（2）f（x）＝2asin（2x），

当x∈[0，]时，2x∈[，]；

若a＞0，2a＝5，则a；

若a＜0，﹣a＝5，则a＝﹣5；

综上所述，a＝﹣5或a．

（3）∵|f（x）﹣m|＜2在x∈[0，]上恒成立，

∴f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，x∈[0，]上恒成立，

∴f（x）max﹣2＜m＜f（x）min+2，x∈[0，]

∵f（x）＝2sin（2x）在[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．

∴0＜m＜1．

即实数m的取值范围为（0，1）．