Question

如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花．若BC＝a，∠ABC＝，设△ABC的面积为S₁,正方形的面积为S₂．

(1)用a，表示S₁和S₂；

(2)当a固定，变化时，求取最小值时的角．

Answer

（1）S1a2sinθcosθ；S2＝；（2）当θ时，的值最小，最小值为．

【解析】

（1）据题三角形ABC为直角三角形，利用三角函数分别求出AC和AB，得出三角形ABC的面积S1；

设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，由BQ+QR+RC＝a列出方程求出x，算出S2；

（2）化简比值，设t＝sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ．

（1）在Rt△ABC中，AB＝acosθ，AC＝asinθ，

所以S1AB•ACa2sinθcosθ；

设正方形的边长为x则BP，AP＝xcosθ，

由BP+AP＝AB，得xcosθ＝acosθ，

解得x；

所以S2＝x2；

（2）

sin2θ+1，

令t＝sin2θ，因为 0＜θ，

所以0＜2θ＜π，则t＝sin2θ∈（0，1]，

所以t+1；

设g（t）t+1，

则g′（t），t∈（0，1]；

所以函数g（t）在（0，1]上递减，

因此当t＝1时g（t）有最小值g（t）min＝g（1）1+1，

此时sin2θ＝1，解得θ；所以当θ时，的值最小，最小值为．