Question

设为坐标原点，定义非零向量，的“相伴函数”为，

向量，称为函数的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．

(1)设函数，求证：；

(2)记，的“相伴函数”为，若函数，，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；

(3)已知点，满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值．当点运动时，求的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）（3）

【解析】

（1）依题意，将可化为h（x）于是结论可证；

（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围

（3）由f（x）sin（x+φ）可求得x0＝2kπφ，k∈Z时f（x）取得最大值，其中tanx0，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得tan2x0的范围．

（1）∵

∴函数h（x）的相伴向量（，），

∴h（x）∈S

（2）∵则 ，，

则在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减，又 ；函数，，与直线有且仅有四个不同的交点，实数的取值范围为

（3）的相伴函数f（x）＝asinx+bcosxsin（x+φ），

其中cosφ，sinφ

当x+φ＝2kπ，k∈Z即x0＝2kπφ，k∈Z时f（x）取得最大值，

∴tanx0＝tan（2kπφ）＝cotφ，

∴tan2x0．

令m，则 解得 （m=1不成立）

则tan2x0，（）

∵单调递增，故m∈

∴tan