Question

已知函数且.

（1）讨论函数的极值；

（2）若，求函数在区间上的最值.

Answer

（1）当时，极大值，不存在极小值；当时，极小值，不存在极大值；

（2）当时，最大值为，最小值为；

当时，最大值为，最小值为；

当时，最大值为，最小值为；

当时，最大值为，最小值为；

当时，最大值为，最小值为.

【解析】

（1）对函数求导，利用导数分类研究函数的单调性，进而得到极值．

（2）对a分类讨论，分别研究极值点与区间端点的关系，利用导数研究函数单调性极值与最值，即可得出结论．

（1）因为，

所以，

讨论：

当时，令，得，令，得，

所以当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，函数存在极大值，不存在极小值

当时，令，得，令，得，

所以当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，函数存在极小值，不存在极大值.

（2）据（1）求解知，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

讨论：

当，即时，函数在区间上单调递减，

所以函数在区间上的最大值，最小值；

当，即时，函数在区间上单调递增，

所以函数在区间上的最大值，最小值；

当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以函数在区间上的最小值，最大值为与的较大者.

下面比较与的大小：

令，得，化简得，

所以或.

又，

所以，

所以当时，，函数在区间上的最大值；

所以当时，，函数在区间上的最大值；

所以当时，，函数在区间上的最大值；

综上，当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；

当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；

当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；

当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；

当时，函数在区间上的最大值为，最小值为.