Question

用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．

（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；

（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．

Answer

（Ⅰ）共有30个符合题意的三位偶数．

（Ⅱ）共有20个符合题意的“凹数

（Ⅲ）共有28个符合题意的五位数

【解析】

试题在正自然数中，零不能处在最高位，（1）偶数的个位数为偶数，所以只能为0，2，4，根据排列公式求出偶数个数即可；（2）由题意可知十位数可为0，1，2，分别从剩余的数字中取两个进行排列；（3）5个数字中只有两个奇数，所以可将1，3以及夹在中间的偶数看作整体，并与剩余的两个偶数进行排列计算．

试题解析：（1）将所有的三位偶数分为两类：

（i）若个位数为，则共有（个）；

（ii）若个位数为或，则共有（个），

所以，共有个符合题意的三位偶数．

（2）将这些“凹数”分为三类：

（i）若十位数字为，则共有（个）；

（ii）若十位数字为，则共有（个）；

（iii）若十位数字为，则共有（个），

所以，共有个符合题意的“凹数”．

（3）将符合题意的五位数分为三类：

（i）若两个奇数数字在一、三位置，则共有（个）；

（ii）若两个奇数数字在二、四位置，则共有（个）；

（iii）若两个奇数数字在三、五位置，则共有（个），

所以，共有个符合题意的五位数．