Question

已知函数

（1）求的单调区间；

（2）求曲线在点处的切线方程；

（3）求证：对任意的正数与，恒有．

Answer

（1）单调增区间 ，单调减区间；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）先求出函数的定义域，再求出，由和即可求得的单调区间；

（2）先求出切线的斜率，再求出及切点坐标，最后代入直线的点斜式方程即可；

（3）所证不等式等价为，构造函数，由（1）可知，，所以成立．

【解析】
（1）由已知可得函数的定义域为，，令，可得；令，可得，所以函数的单调增区间 ，单调减区间；

（2）因为，

所以，又，

所以切线方程为，

即 ；

（3）所证不等式等价为，

而，

设

则，由（1）结论可得，在上单调递减，在上单调递增，由此，所以即，

记，则，代入得，

即对任意的正数与，恒有.