Question

已知函数.

（1）当时,恒成立,求实数的取值范围;

（2）是否同时存在实数和正整数,使得函数在上恰有2019个零点若存在,请求出所有符合条件的和的值;若不存在,请说明理由.

Answer

（1）（2）答案见解析

【解析】

（1）化简得:,则当时,, 要使对任意恒成立,令,则,对任意恒成立,即可求得答案.

（2）若同时存在实数和正整数满足条件,函数在上恰有2019个零点,即函数与直线在上恰有2019个交点,对进行讨论,即可求得答案.

（1）化简:

当时,,

,则

要使对任意恒成立,

令,则,对任意恒成立,

只需

解得,

实数的取值范围为.

（2）假设同时存在实数和正整数满足条件,函数在上恰有2019个零点,即函数与直线在上恰有2019个交点

当时,,

①当或时,函数与直线在上无交点,

②当或时,函数与直线在上仅有一个交点,

此时要使函数与直线在上恰有2019个交点,则;

③当或时,函数与直线在上有两个交点,

此时函数与直线在上有偶数个交点,不可能有2019个交点,不符合;

④当时,函数与直线在上有2个交点,

此时要使函数与直线在上恰有2019个交点,则;

综上所述,存在实数和正整数满足条件:

当时,;

当时,;

当时,.