Question

已知函数满足,且,分别是定义在上的偶函数和奇函数．

（1）求函数的反函数;

（2）已知,若函数在上满足,求实数a的取值范围;

（3）若对于任意不等式恒成立,求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）由题意可得:,,联立解得:,.由,化为:,,解得．可得．

（2）,函数在上满足,转化为:函数在上满足:,由于函数在上单调递增,且函数为偶函数,可得,,,即可求得的范围．

（3）不等式,即,令,由,可得,不等式转化为:,,利用基本不等式的性质,即可求得答案．

（1）由题意可得:,,

联立解得:,．

由,化为:,

解得．

．

（2）,函数在上满足,

转化为:函数在上满足:,

由于函数在上单调递增,且函数为偶函数,

解得:．

（3）不等式,即,

令,由,可得,

不等式转化为:,

,

,当且仅当时取等号．

．