Question

如图，扇形的半径为，圆心角，点为弧上一点，平面且，点且，∥平面．

（1）求证：平面平面；

（2）求平面和平面所成二面角的正弦值的大小.

Answer

(1)见证明；(2)

【解析】

（1）如图，连接交于点，连接，结合∥平面，得到∥，从而求得，根据余弦定理得，得到，得到，因为平面，所以，得到平面，再利用面面垂直的判定定理证得平面平面；

（2）由（1）的条件，得到，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，求得面的法向量，用法向量所成角的余弦值得到二面角的余弦值，再应用同角三角函数关系式求得其正弦值，得到答案.

（1）如图，连接交于点，连接，

∥平面，∥，，，

，，，，

又，在中，根据余弦定理得，

，，，

又平面，，平面，

又平面，平面平面

（2）由（1）得，如图建立空间直角坐标系，

，，，，

，，点且，，

设平面的法向量为，则，即，

令，得，，，

设平面的法向量为，则，即，即，令，得，，，

设平面和平面所成二面角的大小为，

则，，

∴平面和平面所成二面角的正弦值的大小为